Paradoxes mathématiques

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Voici une petite liste de démonstrations mathématiques fausses. On aboutit à chaque fois à un paradoxe mathématique par exemple 1=0. A vous de trouver l'erreur !

1=0

Calculer la somme : 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.......... = ?

• Méthode 1) : <math>\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+\underbrace{(1-1)}_{=0}+..........=0+0+0+0+0+0+..........=0</math>

• Méthode 2) : <math>1+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+\underbrace{(-1+1)}_{=0}+......=1+0+0+0+0+0+0+......=1</math>

On aboutit rapidement à 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+.......... =1=0

1=2

• Partie 1 : <math>1=\ln e=\ln {e} - 0=\ln {e} - \ln {0}=\int^e_1{\frac{dx}{x}}</math>

• Partie 2 : <math>\int^e_1{\frac{dx}{x}}=\int^e_1{1 \times \frac{1}{x}} \times dx</math>

En intégrant par partie : on obtient <math>\int^e_1{\frac{dx}{x}}=\left[ \frac{x}{x} \right]^e_1 - \int^e_1{x \times \frac{-1}{x^2}} \times dx=1+\int^e_1{\frac{dx}{x}}</math>

• Au final on a donc : <math>\int^e_1{\frac{dx}{x}}=1+\int^e_1{\frac{dx}{x}}</math> soit 1=1+1=2

x=1 est solution de <math>x^2+x+1=0</math>

• <math>x^2+x+1=0</math>      (1)
• x=0 n'est pas solution, donc : <math>x^2+x=-1 \Longleftrightarrow x+1=- \frac{1}{x}</math>       (2)
• (1) <math>\Longleftrightarrow x+1=-x^2</math>       (3)
• (2) et (3) <math>\Longrightarrow 1 = x^3</math>       (4)
• x=1 est solution de (4) donc de (1) ; mais ce résultat est faux car x=1 n'est pas solution de (1)

0>0

• Soit la suite <math>u=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+...</math>

• Soit la suite <math>v=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}</math>

• On a donc <math>2v = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ...</math>

• On remarque que <math>2v=u+v</math> soit <math>u-v=0</math>

• Or si on calcule u-v : <math>u-v=\underbrace{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}_{>0}+\underbrace{\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)}_{>0}+\underbrace{\left( \frac{1}{5}-\frac{1}{6} \right)}_{>0}+\underbrace{\left( \frac{1}{7}-\frac{1}{8} \right)}_{>0}+ ...>0</math>

• Donc on a bien u-v=0 et u-v>0

2=1

• <math>x^2=x+x+x+x+x+x+x+...+x+x+x+x \,\,\,\,(x\,fois)</math>

• Dérivons des deux côtés : <math>\frac {\partial x^2}{\partial x}=2x</math> et <math>\frac {\partial (\overbrace{x+x+x+x+x+...+x}^{x\,\,fois})}{\partial x}=\overbrace {1+1+1+1+1+...+1}^{x\,\,fois}=x</math>

• d'où 2x=x ou 2=1

Si |z|=1, alors z=1

• Démontrons la proposition (fausse bien sûr) : "N'importe quel nombre complexe de module 1 est égal à 1."
• Soit z un nombre complexe de module 1 : <math>z=e^{i\theta}</math>
• On pose <math>t={\theta}{2\pi}</math>
• On a alors : <math>z=e^{2i\pi t}=\left( e^{2i\pi} \right)^t=1^t=1</math>

2=1

• a=b
• a²=ba
• a²-b²=ba-b²
• (a-b)(a+b)=b(a-b)
• a+b=b
• 2a=a
• 2=1

cos θ>1

• Soit θ tel que 0<θ<π/2
• cos θ=cosθ
• ln(cos θ)=ln(cos θ)
• 2ln(cos θ)>ln(cos θ)
• cos²θ>cos θ
• cos θ>1

1=0

• Soit a une constante
• Si x=a, alors on a : <math>\frac{dx}{dx}=\frac{da}{dx}</math> et donc 1=0

Si <math>n \in \mathbb{N}^+</math> alors <math>n=1</math>

• Soit <math>n \in \mathbb{N}^+</math>
• On sait que <math>1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}</math>
• Démontrons par récurrence que tout entier strictement positif est égal à 1 :
• Pour n=1, le théorème est vérifié
• Supposons donc le théorème vrai pour tout n
• Pour n>1, alors (n-1) est un entier >0, on peut écrire :
• <math>1+2+3+4+...+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}</math>
• Si on ajoute 1 des 2 côtés <math>1+2+3+4+...+(n-1)+n=\frac{(n-1)n}{2}+1</math>
• Or, <math>1+2+3+4+...+(n-1)+n=1+2+3+4+...+n=\frac{n(n+1)}{2}+1</math>
• Donc <math>\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n-1)n}{2}+1</math>
• n(n+1)=n(n-1)+2
• n²+n=n²-n+2
• donc 2n=2
• et enfin n=1